Сферические соединения

Сферические соединения

Максимальное напряжение σmax в поверхностном слое при сжатии двух сфер, выполненных из одинакового материала, по Герцу

Sferich soedinenija 1

где Р — действующая на соединение нагрузка, Н; Е — модуль нормальной упругости материала сфер, МПа; d — диаметр меньшей сферы, мм; σ0 — безразмерная величина,

Sferich soedinenija 2

где а = D/d — отношение диаметров большей и меньшей сфер; знак плюс относится к случаю внешнего контакта (обе поверхности выпуклы), минус — к внутреннему контакту (одна из поверхностей вогнутая).

Несущая способность соединения согласно формуле (83)

Sferich soedinenija 3

Значения σ0 приведены на рис. 219 для трех случаев нагружения; сфера по сфере, сфера в сферическом вогнутом гнезде и сфера по плоскости (a = ∞).

Sferich soedinenija 4

Величина σ0, а, следовательно, и напряжения максимальны (σ0 = 1,59) при сжатии двух сфер одинакового диаметра (а = 1). С увеличением диаметра одной из сфер σ0 снижается, становясь равной σ0 = 1 при а = ∞.

При опоре на вогнутую сферическую поверхность напряжения значительно меньше и резко падают с уменьшением a, т. е. с приближением диаметра вогнутой сферической поверхности к диаметру сферы, стремясь к нулю при а = 1 (диаметр вогнутой сферической поверхности равен диаметру сферы).

Это, конечно, не значит, что напряжения исчезают, а только показывает, что формула Герца неприменима при а ≈ 1, так как в данном случае нарушается одно из основных допущений теории (незначительность размеров площадки сжатия по сравнению с размерами сфер). При а < 1,01 расчет по формуле Герца является ненадежным, а при а = 1 напряжения следует определять, как напряжения смятия (σ = P/0,785d2).

Согласно формулам (83) и (84) напряжения при заданной нагрузке Р обратно пропорциональны d2/3, а нагрузка при заданном напряжении пропорциональна d2.

Sferich soedinenija 5

На рис. 220, а приведены подсчитанные по формуле (83) максимальные напряжения σmax (принято Е = 2,1·105 МПа, Р = 1) в функции диаметра d сферы при различных значениях а. Напряжения падают с увеличением d и резко снижаются с уменьшением а. При а = 1,02 напряжения в 13,5 раза меньше, чем при а = ∞ (опора на плоскость), и приблизительно в 20 раз меньше, чем при а = 1 (сжатие сфер одинакового диаметра).

Еще значительнее влияет а на нагрузочную способность. На рис. 220, б приведена подсчитанная по формуле (84) предельная нагрузка при σmax = 1000 МПа. Как видно из диаграммы, нагрузка при а = 1,02 в 2500 раз больше, чем при а = ∞.

Фактор Р/d2 в формуле (83) удобно заменить величиной

Sferich soedinenija 6

где σсж — напряжение сжатия, возникающее под действием силы Р в центральном сечении сферы (напряжение реальное для полных сфер и условное для тел с ограниченной сферической поверхностью).

Вводя эту величину в формулу (83) и принимая Е = 2,1·105 МПа, получаем

Sferich soedinenija 7

На основании этой формулы составлен график для расчета сферических соединений (рис. 221).

График для расчета сферических соединений

Пример 1. Найти максимальное напряжение в шарике d = 10 мм, опертом на плоскость и нагруженном силой Р = 150 Н. Напряжение сжатия σсж = Р/0,785d2 = 150/78,5 ≈ 2МПа.

Отправляясь от точки σсж = 2 МПа на оси абсцисс до встречи с линией а = ∞, находим на оси ординат σmax = 2400 МПа.

При опоре в сферическом гнезде с а = 1,02 напряжение согласно графику падает до 180 МПа, т. е. в 13,5 раза.

Пример 2. Найти силу, которую может нести шарик диаметром 10 мм, опертый в сферическом гнезде с а = 1,02 при напряжении σmах = 1000 МПа.

Проводя от точки σmах = 1000 МПа на оси ординат горизонталь до встречи с линией а = 1,02, находим на оси абсцисс σсж = 330 МПа. Следовательно, Р = σсж0,785d2 = 330·0,785·102 = 2,6·104 Н.

Пример 3. Задана нагрузка Р = 105 Н. Допустимое напряжение σmах = 1000 Мпа. Найти удовлетворяющий этому условию диаметр шарика, опертого в сферическом гнезде с а = 1,02.

Согласно предыдущему σсж = 330 МПа. Диаметр шарика по формуле (85)

Sferich soedinenija 9

При опоре на плоскость (а = ∞) напряжение сжатия согласно диаграмме было бы σсж = 0,15 МПа и

Sferich soedinenija 10

Так как материал на площадке контакта работает в условиях всестороннего сжатия, то при расчете контактных сочленений допускают высокие напряжения 1000—2500 МПа. (При ударной нагрузке допустимые напряжения снижают в 2—3 раза.)