Цилиндрические соединения

Цилиндрические соединения

Максимальное напряжение при сжатии двух цилиндров, выполненных из одинакового материала, по Герцу

Cilindr soedinenija 1

где d — диаметр меньшего цилиндра, мм; l — длина цилиндров, мм; σ'0 — безразмерная величина.

Несущая способность соединения согласно формуле (87)

Несущая способность соединения

Значения σ'0 приведены на рис. 222 для трех случаев нагружения: цилиндр по цилиндру, цилиндр в цилиндрическом вогнутом гнезде, цилиндр по плоскости (a = ∞).

Cilindr soedinenija 3

Величина σ'0, а, следовательно, и напряжения максимальны (σ'0 = 1,41) при сжатии цилиндров одинакового диаметра (a = 1), снижаются до σ'0 = 1 при работе цилиндра по плоскости (а = ∞) и резко падают при работе в цилиндрическом вогнутом гнезде, стремясь к нулю при диаметре гнезда, равном диаметру цилиндра (а = 1).

Как видно из формул (87) и (88), напряжения при заданной нагрузке обратно пропорциональны (ld)1/2, а нагрузка при заданном напряжении пропорциональна ld.

Прочность и нагрузочная способность цилиндрических соединений

На рис, 223, а приведены подсчитанные по формуле (87) напряжения σmax (принято Е = 2,1·105 МПа, l = d, Р = 1) в функции диаметра цилиндра d при различных значениях а. Напряжения падают пропорционально d и снижаются с уменьшением а. При а = 1,02 напряжения в 7 раз меньше, чем при а = ∞ (опора на плоскость), и в 10 раз меньше, чем при а = 1 (сжатие цилиндров одинакового диаметра).

На рис. 223, б приведена подсчитанная по формуле (88) предельная нагрузка при σmax = 1000 МПа. Нагрузка при а = 1,02 в 50 раз больше, чем при а = ∞.

Подставляя в формулу (87) E = 2,1·105 МПа и вводя обозначение σсж = P/ld, получаем

Cilindr soedinenija 5

На основании этой формулы составлен график для расчета цилиндрических соединений (рис. 224).

График для расчета цилиндрических соединений

Пример 1. Найти максимальное напряжение в ролике d = 10 мм, l = 10 мм при нагрузке 2000 Н (σсж = 2000\(10·10) = 20 Мпа). Ролик оперт на плоскость (а = ∞).

Отправляясь от точки σсж = 20 МПа на оси абсцисс до встречи с линией а = ∞, находим на оси ординат σmax = 1300 МПа. При опоре на вогнутую цилиндрическую поверхность с a = 1,02 напряжение падает до 170 МПа, т. е. в 7,5 раза.

Пример 2. Найти силу, которую может нести ролик d = 10 мм, l = 10 мм, опертый в цилиндрическом гнезде с а = 1,02, при напряжении σmax = 1000 МПа.

По графику находим для этих условий σсж = 660 МПа. Следовательно, Р = 660·l·d = 660·10·10 = 6,6·104 Н.

Для сравнения напомним, что нагружаемость шарика d = 10 мм при тех же условиях (см. Сферические соединения - расчетный пример 2) равна 2,6·104 Н.

Сравним прочность цилиндрических и сферических соединений. Разделив почленно уравнения (89) и (86), получаем отношение максимальных напряжений в цилиндрах и сферах одинакового диаметра (принято l/d = 1):

Cilindr soedinenija 7

На основании этого уравнения построен график (рис. 225, а), из которого видно, что максимальные напряжения в цилиндрах значительно ниже, чем в сферах (σцилсф = 0,1—0,2), только при низких значениях σсж (малые нагрузки, большие диаметры).

Сравнительная прочность и нагрузочная способность цилиндрических и сферических соединений

При обычных значениях σсж = 100—500 МПа разница уменьшается (σцилсф = 0,3—0,7), а при σсж = 1000 МПа и а = 1,02 прочность цилиндрических и сферических сочленений становится практически одинаковой (σцилсф = 0,9).

Разделив почленно уравнения (88) и (84), находим отношение нагрузок, выдерживаемых цилиндрическими и сферическими соединениями (принято Е = 2,1·105 МПа)

Cilindr soedinenija 9

Из графика (рис. 225, б), построенного на основании этого выражения, видно, что нагрузочная способность цилиндрических соединений значительно (в сотни раз) превосходит нагрузочную способность сферических соединений при низких значениях [σ] = 50—200 МПа. При обычных в машиностроении величинах σmax = 1000—2000 МПа отношение Рцилсф снижается до 20—100 при а = 1,1 и до 2—10 при а < 1,1. С дальнейшим повышением σmax разница в несущей способности цилиндров и сфер несущественна. При а = 1,02 и σmax = 2500 МПа несущая способность цилиндров и сфер одинакова, а при более высоких значениях σmax сферы превосходят цилиндры по нагружаемости (Рцилсф < 1).

Нагрузочную способность цилиндрических соединений можно повысить увеличением длины цилиндров. Эта возможность отсутствует у сферических соединений. Однако увеличение длины цилиндров лимитируется наступающей у длинных цилиндров (l/d > 1,5—2) вследствие неточностей изготовления неравномерностью распределения нагрузки по длине и сосредоточением нагрузки на кромках цилиндров.

В заключение сравним прочность соединений в условиях точечного, линейного и поверхностного контакта.

Примем напряжения сжатия в сфере σсж = 1. Тогда для цилиндра одинакового диаметра с l/d = 1 величина σсж = 0,785. Формулы (86) и (89) принимают следующий вид: σсф = 420σ0; σцил = 78σ'0. Подсчитанные по этим формулам значения σmax, приведены в первой строке на рис. 226 (случаи 1, 2, 4, 5).

Для случаев 3, 6 поверхностного контакта расчетное напряжение смятия σсм, очевидно, равно напряжению сжатия σсж (для сферы σсм = σсж; для цилиндра σсм = 0,785σсж). Так-как допускаемые напряжения σmах при контактном нагружении в среднем в 5 раз больше допускаемых напряжений смятия, то сравнительную прочность контактно-нагруженных соединений и соединений с поверхностным контактом оцениваем отношением σmах/5σсм (вторая строка на рис. 226).

Соединения с точечным, линейным и поверхностным контактом

В рассматриваемом случае (σсж = 1; l/d = 1) прочность соединения увеличивается:

  • при переходе от расположения на плоскости к расположению в вогнутом гнезде с а = 1,02: для сфер (случай 1 à 2) в 420/31 = 13,5 раза, а для цилиндров (случаи 4 à5) в 78/11 ≈ 7 раз;
  • при переходе от точечного контакта к линейному: для случая расположения на плоскости (1 à4) в 420/78 ≈ 5,5 раза, а для случая расположения в гнезде (2 à5) в 31/11 ≈ 2,8 раза;
  • при переходе от точечного контакта к поверхностному в сферических соединениях: для случая расположения на плоскости (1 à 3) в 8,5 раза, а для случая расположения в гнезде (2 à 3) в 6,2 раза;
  • при переходе от линейного контакта к поверхностному в цилиндрических соединениях: для случая расположения на плоскости (4 à 6) в 15,5/0,785 ≈ 20 раз, а для случая расположения в гнезде (5 à 6) в 2,2/0,785 ≈ 3 раза.